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如图,在锐角三角形ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的角平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.
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如图,在锐角三角形ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的角平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是____________. |
▼优质解答
答案和解析
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在AC上取一点E,使得AE=AB,过E作EN⊥AB于N,交AD于M,连接BM,BE,BE交AD于O,根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小,求出E和B关于AD对称,求出BM+MN=EN,求出EN,即可求出答案. 在AC上取一点E,使得AE=AB,过E作EN⊥AB于N,交AD于M,连接BM,BE,BE交AD于O,则BM+MN最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短), ∵AD平分∠CAB,AE=AB, ∴EO=OB,AD⊥BE, ∴AD是BE的垂直平分线(三线合一定理), ∴E和B关于直线AD对称, ∴EM=BM, 即BM+MN=EM+MN=EN, ∵EN⊥AB, ∴∠ENA=90°, ∵∠CAB=60°, ∴∠AEN=30°, ∵AE=AB=6, ∴AN= AE=3, 在△AEN中,由勾股定理得:EN= 即BM+MN的最小值是 . 故答案为: . |
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