在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足（54c-a）cosB=bcosA．（1）若sinA=25，a+b=10，求a；（2）若b=35，a=5，求△ABC的面积S．

Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足（(5)/(4)c-a）cosB=bcosA．
（1）若sinA=(2)/(5)，a+b=10，求a；
（2）若b=3√(5)，a=5，求△ABC的面积S．

Answer 1

（本题满分为12分）
∵（(5)/(4)c-a）cosB=bcosA．
∴由正弦定理可得：（(5)/(4)sinC-sinA）cosB=sinBcosA，
即有：(5)/(4)sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB，则(5)/(4)sinCcosB=sinC，
∵sinC>0，
∴cosB=(4)/(5)…4分
（1）∵cosB=(4)/(5)，
∴sinB=(3)/(5)，∵sinA=(2)/(5)，∴(a)/(b)=(sinA)/(sinB)=(2)/(3)，
又a+b=10，解得：a=4…7分
（2）∵b²=a²+c²-2accosB，b=3√(5)，a=5，
∴45=25+c²-8c，即：c²-8c-20=0，解得：c=10或-2（舍去），
∴S_△ABC=(1)/(2)acsinB=15…12分