如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AB、BC上，∠EDF=45°，DE、DF分别交AC于点G、H．求证：EF=2GH．

Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AB、BC上，∠EDF=45°，DE、DF分别交AC于点G、H．求证：EF=√(2)GH．

Answer 1

连接BD，
∵∠EDF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠CAD=∠ADB=45°，
即∠1+∠2=∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，∠DBF=∠DAC，
∴△AGD∽△BFD，
∴(DG)/(DF)=(AD)/(BD)=(√(2))/(2)，
延长BA到M，使CF=AM，
在△DFC与△AMD中，

CF=AM

∠MAD=∠DCF=90°

AD=CD

，
∴△DFC≌△AMD，
∴∠4=∠5，DF=DM，
∵∠EDF=45°，
∴∠1+∠4=45°，
∴∠1+∠5=45°，
在△EDF与△MDE中，

DF=DM

∠EDF=∠MDE

DE=DE

，
∴△EDF≌△MDE，
∴∠6=∠8=∠7，
∴∠8=∠9，
∴∠6=∠9，
∴△DGH∽△DEF，
∴(GH)/(EF)=(DG)/(DF)=(√(2))/(2)，
∴EF=√(2)GH．