如图，G为BC的中点，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．（1）求证：AD是∠BAC的平分线；（2）如果AB=8，AC=6，求AE的长．

Question

如图，G为BC的中点，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．

（1）求证：AD是∠BAC的平分线；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE的长．

Answer 1

（1）连接BD、DC
∵DG⊥BC，G为BC的中点，
∴BD=CD，
∵DG⊥BC，DE⊥AB
∴∠BED=∠CFD，
在Rt△DBE和Rt△DFC中，

DB=DC

BE=CF

∴△DBE≌△DFC
∴DE=DF，
∴∠BAD=∠FAD
∴AD是∠BAC的平分线；
（2）∵DE=DF，∠BAD=∠FAD，AD=AD
∴△AED≌△ADF，
∴AE=AF
∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，
∴AB+AC=AE+AF，
∵AB=8，AC=6，
∴8+6=2AE，
∴AE=7．