在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，BG延长交DC于点F．（1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图1所示．①求证：GF=DF；②若DF=12DC，AD=4，求AB的长度．（2）如果点

Question

在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，BG延长交DC于点F．
（1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图1所示．
①求证：GF=DF；
②若DF=(1)/(2)DC，AD=4，求AB的长度．
（2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图2所示，DF=kDC（k>1），请用含k的代数式表示(AD)/(AB)的值．

Answer 1

（1）①证明：如图1中，连接EF．

∵矩形ABCD中，E是AD的中点，△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=DE，AE=EG，∠A=∠BGE=∠D=90°，
在Rt△EFG和Rt△EFG中，

EF=EF

EG=ED

，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴FG=DF；
②设DF=FC=a，则AB=BG=2a，GF=a，
在Rt△BFC中，∵BF²=CF²+BC²，
∴（3a）²+a²=4²，
解得a=(2√(5))/(5)，
∴AB=2a=(4√(5))/(5)．

（2）如图2中，连接EF．

由（1）可知，△EFG≌△EFD，
∴∠FED=∠FEG，FD=FG，∵∠BEA=∠BEG，
∴∠BEF=90°，
∵∠BEG+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°，
∠BEG=∠EFG，∵∠BGE=∠FGE=90°，
∴△BEG∽△EFG，
∴(EG)/(FG)=(BG)/(EG)，
∴EG²=BG•GF，设DC=AB=BG=a，则DF=FG=ka，
∴EG²=ka²，
∴EG=√(k)a，
∴AD=2EG=2√(k)a，
∴(AD)/(AB)=(2√(k)a)/(a)=2√(k)．