如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，连接BE，F为BE的中点，连接CF、DF．（1）如图1，当AD与AC重合时，猜想线段CF、DF的关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当DA⊥AB时，（1

Question

如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，连接BE，F为BE的中点，连接CF、DF．
（1）如图1，当AD与AC重合时，猜想线段CF、DF的关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，当DA⊥AB时，（1）中猜想的结论是否成立？请说明理由；
（3）如图3，若△ABC不动，△ADE绕点A旋转任意一个角度，其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请直接回答，不必说明理由．

Answer 1

证明：（1）DF=CF，DF⊥CF
理由：如图1，

∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F为BE中点，
∴EF=BF．
∴△DEF≌△GBF．
∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，
∴AD=GB，
∵AC=BC，
∴AC-AD=BC-GB，
∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵DF=GF．
∴DF=CF，DF⊥CF．
（2）如图2，

延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠DAE=∠ABC=45°，
∵CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中点，
∴EF=BF，
∴△DEF≌△HBF，
∴DF=HF，ED=HB，
∵AD=ED，
∴AD=HB
在△ADC和△BHC中，

AD=HB

∠DAC=∠HBC=45°

AC=BC

，
∴△ADC≌△BHC，
∴DC=HC，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∵DF=HF，
∴DF=CF，DF⊥CF；
（3）DF=CF，DF⊥CF；
理由：如图3，

过点B作BH∥ED，与DF的延长线交于点H，连接CH，
∴∠DEF=∠BHF，
在△FDE和△FHB中，

∠DEF=∠BHF

EF=BF

∠DFE=∠HFB

，
∴△FDE≌△FHB，
∴DF=FH，DE=HB，
∴AD=ED=HB，
作AN⊥EB于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ACB=90°，
可证得∠DEN=∠DAN，∠NAC=∠CBF，
∵BH∥ED，
∴∠DEN=∠HBF，
∴∠CBH=∠CBF+∠HBF=∠NAC+∠DEN=∠NAC+∠DAN=∠CAD，
在△CBH和△CAD中，

BC=AC

∠CBH=∠CAD

BH=AD

，
∴△CBH≌△CAD，
∴CH=CD，∠DCA=∠BCH，
∴∠DCH=∠DCA+∠ACH=∠BCH+∠ACH=∠ACB=90°，
∵DF=HF，
∴DF=CF，DF⊥CF．