如图，已知△ABC中，BD、CE是高，F是BC中点，连接DE、EF和DF．（1）求证：△DEF是等腰三角形．（2）若∠A=45°，试判断△DEF的形状，并说明理由．（3）若∠A：∠DFE=5：2，BC=4，求△DEF的面积

Question

如图，已知△ABC中，BD、CE是高，F是BC中点，连接DE、EF和DF．

（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）若∠A=45°，试判断△DEF的形状，并说明理由． 
（3）若∠A：∠DFE=5：2，BC=4，求△DEF的面积．

Answer 1

（1）证明：∵BD、CE是高，F是BC中点，
∴EF＝(1)/(2)BC＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
（2）（2）△DEF是等腰直角三角形；
理由：∵∠A=45°，
∴∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°，
∵EF＝(1)/(2)BC＝BF，
∴∠EBF=∠FEB，
同理，∠DCF=∠FDC，∴∠FEB+∠FDC=135°，
∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°，
∴∠DFE=180°-90°=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．
（3）作EG⊥DF于G，设∠A=5x，∠DFE=2x，
则∠FEB+∠FDC=∠EBF+∠DCF=180°-5x，
∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-（180°-5x）-（180°-5x）=10x，显然有10x+2x=180°，
∴∠DFE=2x=30°，
∵BC=4，∴DF=EF=2，
∴EG=1，
∴△DEF面积1．