素数定理是什么?

Question

素数定理是什么?

Answer 1

定理描述素数素数的大致分布情况.素数的出现规律一直困惑著数学家.一个个地看,素数在正整数中的出现没有什么规律.可是总体地看,素数的个数竟然有规可循.对正实数x,定义π(x)为不大于x的素数个数.数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长.以下是第一个这样的估计.:\pi(x)\approx\frac 其中ln x为x的自然对数.上式的意思是当x趋近∞,π(x) 和x/ln x的比趋近1（注：该结果为高斯所发现）.但这不表示它们的数值随着x增大而接近.下面是对π(x)更好的估计：:\pi(x)= (x) + O \left(x e^\right),当 x 趋近∞.其中 (x) = \int_2^x \frac,而关系式右边第二项是误差估计,详见大O符号.下表比较了π(x),x/ln x和Li(x)：x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)