已知f（x）在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f（0）=0,f（1）=1,证明：（1）存在ζ∈（0,1）,使f（ζ）=1-ζ（2）存在两个不同的点η,ζ∈（0,1）,使f’（η）f’（ζ）=1

Question

已知f（x）在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f（0）=0,f（1）=1,证明：
（1）存在ζ∈（0,1）,使f（ζ）=1-ζ
（2）存在两个不同的点η,ζ∈（0,1）,使f ’（η）f ’（ζ）=1

Answer 1

(1)设g(x)=f(x)+x-1,那么g(0)=-1,g(1)=1.由零点定理,存在ζ1∈（0,1）,使f（ζ1）=1-ζ1
（2）f（ζ1）=1-ζ1,f(x)满足拉格朗日中值定理,
f(ζ1)-f(0)=f'(η)（ζ1-0）,f(1)-f(ζ1)=f'(ζ)（1-ζ1）
所以使f ’（η）f ’（ζ）=1