设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证A^2=kA

Question

设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA

Answer 1

证明:因为r(A)=1
所以 A 有一个非零列向量α,且其余列向量都是α的倍数
(事实上,α是A的列向量组的一个极大无关组)
记α=(a1,a2,...,an)'
则 A = (k1α,k2α,...,knα) 某个ki=1.
= α(k1,k2,...,kn)
记 β = (k1,k2,...,kn)'
则 A = αβ'.
所以 A^2 = (αβ')(αβ')=α(β'α)β'=(β'α)αβ'=(β'α)A.
令 k = β'α
则 A^2=kA.
注:β'α 是两个向量的内积,是一个数.