已知n阶方阵A满足相似于对角阵,并且A的特征向量均是n阶矩阵B的特征向量,证明,AB=B

Question

已知n阶方阵A满足相似于对角阵,并且A的特征向量均是n阶矩阵B的特征向量,证明,AB=B

Answer 1

AB=B一般不成立, 反例如A=0, B=E.
应该是AB=BA.
证明如下: A相似于对角阵即存在可逆矩阵P使P^(-1)AP=对角阵S.
由AP=PS, P的列向量都是A的特征向量.
于是P的列向量也都是B的特征向量, 存在对角阵T使BP=PT.
我们得到A=PSP^(-1), B=PTP^(-1).
于是AB=PSTP^(-1), BA=PTSP^(-1).
由S, T均为对角阵, 有ST=TS, 故AB=BA.
证毕.