设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3令β=α1+α2+α3证明β,Aβ,A^2β线性无关不要复制其他人的.如果复制其他人的..Aβ为什么等于λ1α1+λ2α2+λ3α3A^2β为什么

Question

设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3
令β =α1+α2+α3
证明β,Aβ,A^2β线性无关
不要复制其他人的.
如果复制其他人的..
Aβ 为什么等于 λ1α1+λ2α2+λ3α3
A^2β 为什么等于 λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3

Answer 1

证明:由已知,Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3,
所以 Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3
A^2β=A(Aβ)=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3Aα3 = λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3
所以 (β,Aβ,A^2β)
=(α1+α2+α3,λ1α1+λ2α2+λ3α3,λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)
=(α1,α2,α3)K
其中 K =
1 λ1 λ1^2
1 λ2 λ2^2
1 λ3 λ3^2
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 α1,α2,α3 线性无关
所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K).
又由于 λ1,λ2,λ3两两不同
所以 |K|=(λ2-λ1)(λ3-λ1)(λ3-λ2)≠0
所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K)=3.
所以 β,Aβ,A^2β 线性无关.