若A为三阶方阵，其特征值为-2，1，-1，则A2-A-1+E的全部特征值为112、1、3112、1、3．

Question

若A为三阶方阵，其特征值为-2，1，-1，则A²-A^-1+E的全部特征值为

(11)/(2)、1、3

(11)/(2)、1、3

．

Answer 1

设λ是矩阵A的任一特征值，α是对应的特征向量，则
Aα=λα
∴A²α=A（λα）=λ²α，A−1α＝A−1•(1)/(λ)Aα＝(1)/(λ)α
∴（A²+A^-1+E）α=A²α+A^-1α+α=(λ2+(1)/(λ)+1)α
∴λ2+(1)/(λ)+1是A²-A^-1+E的特征值
∴A²-A^-1+E的全部特征值为：(11)/(2)、1、3