（2012•孝感模拟）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t（百

Question

（2012•孝感模拟）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t（百件）时，销售所得的收入为(5t−(1)/(2)t2)万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）．
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．

Answer 1

解（I）当0＜x≤5时，f（x）=5x−(1)/(2)x2-（0.25x+0.5）=−(1)/(2)x2+(19x)/(4)−(1)/(2)（2分）
当x＞5时，f(x)＝25−(1)/(2)×52-（0.25x+0.5）=12−(x)/(4)（4分）
∴f(x)＝

−(1)/(2)x2+(19)/(4)x−(1)/(2)，0＜x≤5 

12−(x)/(4)，x＞5

（6分）
（2）0≤x≤5时，f（x）=-(1)/(2)（x-(19)/(4)）²+(345)/(32)，
∴在x=(19)/(4)时，f（x）有最大值(345)/(32)万元，（10分）
当x＞5时，f（x）=12-(1)/(4)x＜12-(1)/(4)×5＜(345)/(32)（12分）
综上所述，当x=4.75时，f（x）有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润（13分）