我们知道平面上n条直线最多可将平面分成1+n(n+1)2个部分，则空间内n个平面最多可将空间分成16(n3+5n+6)16(n3+5n+6)个部分．

Question

我们知道平面上n条直线最多可将平面分成1+(n(n+1))/(2)个部分，则空间内n个平面最多可将空间分成

(1)/(6)(n3+5n+6)

(1)/(6)(n3+5n+6)

个部分．

Answer 1

假设n个平面可把空间分成f（n）部分，再加上第n+1个平面后可把空间分成f（n+1）部分，
∵第n+1个平面与前n个平面都相交，
∴第n+1个平面内有n交线，且这n条直线最多可把第n+1个平面分成1+(n(n+1))/(2)部分，
又∵平面的每一部分可把它原来所在的空间分成2部分，
∴f（n+1）=f（n）+1+(n(n+1))/(2)，
∴f(n+1)−f(n)＝1+(n(n+1))/(2)＝1+(n2)/(2)+(n)/(2)，
∴f(2)−f(1)＝1+(12)/(2)+(1)/(2)，
f(3)−f(2)＝1+(22)/(2)+(2)/(2)，
…
f(n)−f(n−1)＝1+((n−1)2)/(2)+(n−1)/(2)，
上式相加得：f（n）-f（1）=（n-1）+(1)/(2)×((n−1)n(2n−1))/(6)+(1)/(2)×((n−1)n)/(2)=(n3+5n)/(6)−1，
∴f(n)＝(n3+5n)/(6)+1＝(1)/(6)(n3+5n+6)
故答案为：(1)/(6)(n3+5n+6)