某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化

Question

某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．
（1）设第 年该生产线设备低劣化值为 ，求 的表达式；
（2）若该生产线前 年设备低劣化平均值为 ,当 达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由.

Answer 1

（1） ；（2）第九年.

试题分析：（1）可知 时， 构成等差数列； 时 构成等比数列.然后由条件即可得出 的表达式，注意写出分段函数的形式；（2）先写出 即 的表达式，然后判定其单调性，得出 是增函数，从而求出 时 的取值范围.所以得到第九年需要更新该生产线.
试题解析：（1）当 时，数列 是首项为4，公差为2的等差数列，
                             3分
当 时，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，又 ，
 
的表达式为                          6分
（2）设 表示数列 的前 项和，由等差及等比数列的求和公式得
当 时，
当 时，由
该生产线前n年设备低劣化平均值为  9分
当 时，数列 为单调递增数列；
当 时， ，
所以 为单调递增数列.                                              11分
又 则第九年需要更新该生产线.   13分