先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：若a≥0，b≥0，则a+b2≥ab…①若a≥0，b≥0，c≥0，则a+b+c3≥3abc…②不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的

Question

先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：
若a≥0，b≥0，则(a+b)/(2)≥√(ab) …①
若a≥0，b≥0，c≥0，则(a+b+c)/(3)≥

3

abc

…②
不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：
若ab＞0，试证明不等式：((a+b)2+2ab)/(3)≥

3	(a+b)2a2b2

．
证明：∵ab＞0
∴((a+b)2+2ab)/(3)＝((a+b)2+ab+ab)/(3)≥

3	(a+b)2•ab•ab

即((a+b)2+2ab)/(3)≥

3	(a+b)2a2b2

．
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：
（1）当ab≥0时，试证明：(a2+b2+10ab)/(12)≥

3	((a+b)2a2b2)/(4)

．
（2）当a、b为任意实数时，试证明：(a2+b2+ab)/(3)≥

3	((a+b)2a2b2)/(4)

．

Answer 1

（1）∵ab≥0，
∴(a2+b2+10ab)/(12)=(1)/(3)×(a2+b2+2ab+8ab)/(4)，
=(1)/(3)×[(1)/(4)（a+b）²+ab+ab]≥

3	((a+b)2(ab)×(ab))/(4)

=

3	((a+b)2(ab)2)/(4)

，

（2）当ab≥0时，
(a2+b2+ab)/(3)=(4(a2+b2)+4ab)/(12)，
=((a2+b2)+4ab+3(a2+b2))/(12)≥((a2+b2)+4ab+6ab)/(12)，
=(a2+b2+10ab)/(12)≥

3	((a+b)2a2b2)/(4)

，
当ab＜0时，
(a2+b2+ab)/(3)=

(a2+b

作业帮用户 2017-11-13 举报

问题解析

（1）根据已知得出(a2+b2+10ab)/(12)=(1)/(3)×(a2+b2+2ab+8ab)/(4)=(1)/(3)×[(1)/(4)（a+b）²+ab+ab]即可利用例题得出答案；
（2）根据当ab≥0时与当ab＜0时，利用例题分别得出例题形式即可证明．

名师点评

本题考点：

几何不等式．

考点点评：

此题主要考查了几何不等式的应用，根据已知将原式变形为例题形式是解题关键．

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