设f（x）在有限区间（a，b）有定义，试证f（x）在（a，b）一致连续的充要条件是：若{xn}是（a，b）中的收敛列，则{f（xn）}也是收敛列．

Question

设f（x）在有限区间（a，b）有定义，试证f（x）在（a，b）一致连续的充要条件是：若{x_n}是（a，b）中的收敛列，则{f（x_n）}也是收敛列．

Answer 1

⇒）设f（x）在（a，b）一致连续，则f（x）在（a，b）内连续．从而利用海涅定理可得，若{xn}是（a，b）中的收敛列，则{f（xn）}也是收敛列．⇐）利用反证法进行证明．反设f（x）在（a，b）上不一致连续．从而，∃ɛ{...