如何证明球的体积公式

Question

如何证明球的体积公式

Answer 1

用微积分中的二重积分可以计算球的体积,但是,你如果不会微积分也没关系,还有另外的方法.
用此方法的原理是祖堩原理,具体内容是：夹在两个平行平面的几何体,用
与这两个平面平行的平面去截它们,如果截得的截面的面积总是相等,
那么夹在这两个平面间的几何体的体积相等.
为了应用组堩原理,需要找到符合条件的图形；（设球半径为R,Pi表示圆周率,"x^y"表示x的y次方）
1、先将球分成两个半球,球出一个半球的体积就可求出球的体积；
2、在半球顶上作一个与半球地面平行的平面；
3、在这两个平面之间,构造一个圆柱体,使得它的高底面半径均等于球半径；
4、然后,在构造的圆柱体中去掉以该圆柱体的上底面为底面,以该圆柱体的高为高的圆锥体的那部分体积,则所剩的部分体积为2(Pi*R^3)/3,
5、用距离底面为h的平面去截这两个几何体,截得的半球的截面面积S1=Pi(R^2-h^2)；截得的被去掉一个同底等高圆柱体的面积为S2=Pi(R^2-h^2),于是,在这两个平面之间,用平行于这两个平面的第三个平面截得的这两个几何体的截面积总有S1＝S2；
根据祖堩原理,这两个几何体的体积相等,于是就有半球的体积V/2=2(Pi*R^3)/3；
因此,球体的体积公式为：V=4(Pi*R^3)/3
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