过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷，世界上最快的过山车，它的高度h达到了139m，开始时弹射器将游客乘坐的过山车的车速提至206km/h，穿过

Question

过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷，世界上最快的过山车，它的高度h达到了139m，开始时弹射器将游客乘坐的过山车的车速提至206km/h，穿过环形通道，让人有强烈的失重感，如果该游乐场过山车（可视为质点）的运行过程可以抽象为如图所示的模型，弧形轨道的下端与环形轨道相接，使过山车从弧形上端滑下，进入环形轨道后沿轨道运动，最后离开．已知过山车的质量为1000kg，R=30m，g取lOm/s²．试求：
  （1）要想使过山车获得206km/h的速度，弹射器至少得做多少功？
  （2）过山车从A点获得速度后，如果恰好能到达点B，在此过程中克服摩擦力所做的功是多少？这时过山车对轨道的压力有多大？
  （3）如果从B到C摩擦力很小，可忽略不计，为了能使过山车通过最高点C，半径R应满足什么条件？

Answer 1

（1）选取弹射过程为研究过程，根据动能定理，则有：W_弹=(1)/(2)m

v

2 A

−0；
而v_A=206km/h=57.2m/s；
因此解得：W_弹=(1)/(2)×1000×57．22J=1.64×10⁶J；
（2）恰好能到达点B，则B点的速度v_B=0；
选取由A到B过程，根据动能定理，则有：-mgh-W_克=0-(1)/(2)mv

2

A

；
因此W_克=(1)/(2)mv

2

A

-mgh=W_弹-mgh=1.64×10⁶J-1000×10×139J=2.5×10⁵J；
根据牛顿第二定律，则有：mg-N=m(v2B)/(R)=0，
因此过山车对轨道的压力N=mg=1000×10=1×10⁴N；
（3）当过山车能通过最高点C，则最小速度为v_c；
根据牛顿第二定律，则有：mg=m(v2c)/(R)；
因从B到C摩擦力很小，可忽略不计，则由机械能守恒定律，则有：mg（h-2R）=(1)/(2)m

v

2 c

；
联立上两式，代入数据，解得：R=(2)/(5)h=(2)/(5)×139m=55.6m；
因此半径R应满足R≤55.6m；
答：（1）要想使过山车获得206km/h的速度，弹射器至少得做1.64×10⁶J功；
  （2）过山车从A点获得速度后，如果恰好能到达点B，在此过程中克服摩擦力所做的功是2.5×10⁵J；这时过山车对轨道的压力有1×10⁴N；
  （3）如果从B到C摩擦力很小，可忽略不计，为了能使过山车通过最高点C，半径R应满足R≤55.6m．