怎么用高一数学知识去证明球的体积公式?

Question

怎么用高一数学知识去证明球的体积公式?

Answer 1

高中课本给出了圆球体积公式的证明过程,而椭球的体积公式是如何证明的呢?其实我们完全可以运用中学所学的知识来证明椭球的体积公式.下面的证明借鉴了高中课本中证明圆球体积公式的方法,但愿证明方法二也能引入到高中的课本中去.
证明方法一：
[注：此证明方法是刚读高一时,在没有学习到椭圆方程等的情况下作出的.此证明方法利用到了物理学中的液体压强公式 P=ρgh 及压强的定义式 P=F/S .椭球体积公式的导出,起因于读初中时对液体压强公式的怀疑.此证明方法在此暂不给出.]
证明方法二：
如图（1）,将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面.有
S圆 =π(m2-d2) 【1】
S环 =πb2-πr2=π(b2-r2)
因为 r/b=d/a（三角形相似）
所以 S环 =π(b2-b2d2/a2) 【2】
将M点的坐标值代入椭圆方程x2/b2+y2/a2=1中有
(m2-d2)/b2+d2/a2=1
即 m2-d2=b2-b2d2/a2 【3】
将【1】、【2】代入【3】得
S圆=S环
再根据祖恒原理可知,这两个几何体是相等的.
即 V椭/2=V柱-V锥=πab2-πab2/3
即 V椭=4πab2/3
当椭半球体的截面不是圆面而是椭圆面时,我们可推导得到椭球的体积公式为4πabc/3 .
下面的证明得到了新华网论坛昵称为 瞎话瞎说 wdzg168 等网友的帮助.特此致谢!〖点击阅读〗