设X,Y为赋范线性空间,X≠{0},B(X,Y)是X到Y的有界线性算子全体的集合.证明：若B(X,Y)是完备的,则Y是完备

Question

设X,Y为赋范线性空间,X≠{0},B(X,Y)是X到Y的有界线性算子全体的集合.证明：若B(X,Y)是完备的,则Y是完备

Answer 1

取定Z中的Cauchy列,Z(1),...Z(n),...取Z的子列Y,Y(1),...,Y(n),...满足||Y(2)-Y(1)||+||Y(3)-Y(2)||+...+||Y(n+1)-Y(n)||+...有限首先,取定X中某个非零元x,定义从x张成的一维线性空间span{x}到Y的线性映射f(i),f(i)(...