x->0,求lim(sinx+cosx)^(1/x)的值问,可否刚上来就把cosx代为1?如不可以请解释.

Question

x->0,求lim( sinx+cosx )^(1/x)的值 问,可否刚上来就把cosx代为1?如不可以请解释.

Answer 1

一下都省略极限过程x→0
设 A = lim(cosx+sinx)^1/x,则
lnA = lim ln(cosx+sinx)/x
= lim [ln(cosx+sinx)]'/x'【L'Hospital法则】
= lim (cosx+sinx)'/(cosx+sinx)
= lim (-sinx+cosx)/(cosx+sinx)
= lim (0+1)/(1+0)
= 1
于是A = e .
没有学过罗比达法则就要用等价无穷小代换了.
lnA = lim ln(cosx+sinx)/x
= lim 1/2·ln(cosx+sinx)²/x
= lim 1/2·ln(1+2sinx·cosx)/x
= lim 1/2·ln(1+sin2x)/x
= lim 1/2·2x/x【ln(1+sin2x)~sin2x~2x】
= 1
于是A = e .
PS:楼上做法思路直接,处理cosx的时候略显粗糙,可以只使用一次等价无穷小代换的.