已知函数f(x)=x^3-x(1)求曲线y=f(x)在M(t,f(t))处(2)设a>0,如果过点P(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切...已知函数f(x)=x^3-x(1)求曲线y=f(x)在M(t,f(t))处(2)设a>0,如果过点P(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明-a

Question

已知函数f(x)=x^3-x (1)求曲线y=f(x)在M(t,f(t))处(2)设a>0,如果过点P(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切...
已知函数f(x)=x^3-x (1)求曲线y=f(x)在M(t,f(t))处(2)设a>0,如果过点P(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明-a

Answer 1

1)f'(x)=3x^2-1
f'(t)=3t^2-1,f(t)=t^3-t
因此在M点的切线为：y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t=(3t^2-1)x-2t^3
2)设切点为(t,f(t)),则过P点的切线为：y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t
因为过P点,所以切线斜率3t^2-1=(t^3-t-b)/(t-a)
3t^3-3at^2-t+a=t^3-t-b
即化简为：2t^3-3at^2+a+b=0
此方程需有三个不等实根
令g(t)=2t^3-3at^2+a+b
g'(t)=6t^2-6at=0,得极值点：t=0,a
因此极大值g(0)=a+b>0,故b>-a
极小值g(a)=-a^3+a+b