若a+b+c=0证明a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab和a^3+b^3+c^3=3abc

Question

若a+b+c=0 证明 a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab 和 a^3+b^3+c^3=3abc

Answer 1

(1)a+b+c=0
a=-(b+c)
a²-bc=[-(b+c)]²-bc=b²+2bc+c²-bc=b²+bc+c²
b²-ac=b²-[-(b+c)c]=b²-(-bc-c²)=b²+bc+c²
c²-ab=c²-[-(b+c)b]=c²-(-b²-bc)=b²+bc+c²
所以a²-bc=b²-ac=c²-ab
(2)a³+b³+c³
=[-(b+c)]³+b³+c³
=-(b³+3b²c+3bc²+c³)+b³+c³
=-3b²c-3bc²
3abc=3[-(b+c)]bc=-3b²c-3bc²
所以a³+b³+c³=3abc