设向量β可由α1,α2,...,αr线性表示,但不能由α1,α2,...,αr-1线性表示证试向量组α1,α2,...,αr-1,β与向量组α1,α2,...,αr-1,αr等价.麻烦亲解答尽量详细些

Question

设向量β可由α1,α2,...,αr线性表示,但不能由α1,α2,...,αr-1线性表示
证试向量组α1,α2,...,αr-1,β与向量组α1,α2,...,αr-1,αr等价.
麻烦亲解答尽量详细些

Answer 1

显然,向量α1,α2,...,αr-1,β可以由向量组α1,α2,...,αr-1,αr线性表出.要证明两组向量等价,只要证明向量α1,α2,...,αr-1,αr可以由向量组α1,α2,...,αr-1,β线性表出,即只要证.因为向量β可由α1,α2,...,αr线性表示,不妨设
β=k1α1+k2α2+...+krαr
如果kr=0,那么向量β可由α1,α2,...,αr-1线性表示,矛盾.所以kr≠0,于是有
αr=(1/kr)β-(k1/kr)α1-(k2/kr)α2+...+(kr-1/kr)αr-1,
即向量αr可以被向量组α1,α2,...,αr-1,β线性表出.
所以这两组向量是等价的.