已知函数f(x)=lnX,若x1>x2>0,求证:(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>2x2/(x1^2+x2^2)

Question

已知函数f(x)=lnX,若x1>x2>0,求证:(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>2x2/(x1^2+x2^2)

Answer 1

由拉格朗日中值定理可以知道,
函数f(x)=lnx早在(x2,x1)上可导,[x2,x1]上连续,
则必有一ξ∈[x2,x1]使得f '(ξ)=[f(x1)-f(x2)] / (x1-x2)
而f '(x)=1/x,
所以
[f(x1)-f(x2)] / (x1-x2) = f '(ξ) =1/ξ,而ξ∈[x2,x1]
而x1>x2>0
所以x1^2+x2^2 >2x1 *x2
2x2/(x1^2+x2^2) < 2x2 / (2x1 *x2) = 1/ x1
显然ξ < x1,
故1/ξ > 1/x1,
于是
[f(x1)-f(x2)] / (x1-x2) > 1/ x1 > 2x2/(x1^2+x2^2)
故命题得证,
[f(x1)-f(x2)] / (x1-x2) > 2x2/(x1^2+x2^2)