limx趋近于0 { [（1+x）^(1/x)]--e}/x

Question

limx趋近于0 { [（1+x）^(1/x)]--e}/x

Answer 1

[（1+x）^(1/x)]'
={e^ln[（1+x）^(1/x)]}'
=[（1+x）^(1/x)]*[ln(1+x)/x]'
=[（1+x）^(1/x)]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
所以
lim（x→0） { [（1+x）^(1/x)]--e}/x　（0/0,用洛必达法则）
＝lim（x→0）[（1+x）^(1/x)]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
＝lim（x→0）[（1+x）^(1/x)]*lim（x→0）[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
＝elim（x→0）[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=elim（x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/[x^2(1+x)]
=elim（x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2 （0/0,用洛必达法则）
=elim（x→0）[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=elim（x→0）-ln(1+x)/(2x)
=elim（x→0）-x/(2x)
=-e/2