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在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=22,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且OC⊥平面ABB1A1.(Ⅰ)证明:平面AB1C⊥平面BCD;(Ⅱ)若G为B1C上的一点,A1G∥平面BCD,证明:G为B1C的中
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在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2
,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且OC⊥平面ABB1A1.
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(Ⅰ)证明:平面AB1C⊥平面BCD;
(Ⅱ)若G为B1C上的一点,A1G∥平面BCD,证明:G为B1C的中点.
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(Ⅰ)证明:平面AB1C⊥平面BCD;
(Ⅱ)若G为B1C上的一点,A1G∥平面BCD,证明:G为B1C的中点.
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)∵ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2
,D是AA1的中点,
∴∠BAD=90°,∠ABB1=900,BB1=2
,AD=
AA1=
从而△ABD∽△ABB1,
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∴∠ABD=∠AB1B…(2分)
∴∠AB1B+∠BAB1=∠ABD+∠BAB1=
,∴∠AOB=
,从而AB1⊥BD…(4分)
∵OC⊥平面ABB1A1,AB1⊂平面ABB1A1,∴AB1⊥OC,
∵BD∩OC=O,∴AB1⊥平面BCD,
∵AB1⊂平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面BCD…(6分)
(Ⅱ) 作A1K∥BD交BB1于K,连结KG,
∵A1K⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,∴A1K∥平面BCD,
又A1G∥平面BCD,A1K∩A1G=A1
∴平面A1KG∥平面BCD,…(8分)
∵平面BB1C∩平面BCD=BC,平面BB1C∩平面A1KG=KG,∴BC∥KG…(10分)
在矩形ABB1A1中,∵AA1∥BB1,AA1=BB1
∴A1KBD为平行四边形,
从而BK=A1D=
AA1=
BB1,∴K为BB1的中点,
∴G为B1C的中点.…(12分)
证明:(Ⅰ)∵ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2
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∴∠BAD=90°,∠ABB1=900,BB1=2
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从而△ABD∽△ABB1,
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∴∠ABD=∠AB1B…(2分)
∴∠AB1B+∠BAB1=∠ABD+∠BAB1=
π |
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∵OC⊥平面ABB1A1,AB1⊂平面ABB1A1,∴AB1⊥OC,
∵BD∩OC=O,∴AB1⊥平面BCD,
∵AB1⊂平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面BCD…(6分)
(Ⅱ) 作A1K∥BD交BB1于K,连结KG,
∵A1K⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,∴A1K∥平面BCD,
又A1G∥平面BCD,A1K∩A1G=A1
∴平面A1KG∥平面BCD,…(8分)
∵平面BB1C∩平面BCD=BC,平面BB1C∩平面A1KG=KG,∴BC∥KG…(10分)
在矩形ABB1A1中,∵AA1∥BB1,AA1=BB1
∴A1KBD为平行四边形,
从而BK=A1D=
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∴G为B1C的中点.…(12分)
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