在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=22，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且OC⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若G为B1C上的一点，A1G∥平面BCD，证明：G为B1C的中

Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA₁=2√(2)，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且OC⊥平面ABB₁A₁．

（Ⅰ）证明：平面AB₁C⊥平面BCD；
（Ⅱ）若G为B₁C上的一点，A₁G∥平面BCD，证明：G为B₁C的中点．

Answer 1

（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA1=2√(2)，D是AA₁的中点，
∴∠BAD=90°，∠ABB1=900，BB1=2√(2)，AD=(1)/(2)AA1=√(2)
从而△ABD∽△ABB₁，

∴∠ABD=∠AB₁B…（2分）
∴∠AB1B+∠BAB1=∠ABD+∠BAB1=(π)/(2)，∴∠AOB=(π)/(2)，从而AB₁⊥BD…（4分）
∵OC⊥平面ABB₁A₁，AB₁⊂平面ABB₁A₁，∴AB₁⊥OC，
∵BD∩OC=O，∴AB₁⊥平面BCD，
∵AB₁⊂平面AB₁C，∴平面AB₁C⊥平面BCD…（6分）
（Ⅱ） 作A₁K∥BD交BB₁于K，连结KG，
∵A₁K⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴A₁K∥平面BCD，
又A₁G∥平面BCD，A₁K∩A₁G=A₁
∴平面A₁KG∥平面BCD，…（8分）
∵平面BB₁C∩平面BCD=BC，平面BB₁C∩平面A₁KG=KG，∴BC∥KG…（10分）
在矩形ABB₁A₁中，∵AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁
∴A₁KBD为平行四边形，
从而BK=A1D=(1)/(2)AA1=(1)/(2)BB1，∴K为BB₁的中点，
∴G为B₁C的中点．…（12分）