如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶BE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶BE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

Answer 1

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分析：由已知条件可以证明△BED∽△BCA，然后根据其对应边成比例可将DE的长求出来，进而可求出AB的长，根据三角形的面积公式可求出结果．
在△AED中，∵DE⊥AB于E，
又∵DE：AE=1；5，
∴设DE=x，则AE=5x，
由勾股定理，AD ² =AE ² +ED ² =（5x） ² +x ² =26x ² ，
∴AD= x．
在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，
∴∠DAC=45°．
由勾股定理，AC ² +DC ² =AD ² =26x ² ，
∴AC=DC= x．
在Rt△BED中，∵ED=x，BE=3，
由勾股定BD ² =ED ² +BE ² =x ² +3 ² =x ² +9，
∴BD= ．
在Rt△BED和Rt△BCA中，
∵∠B是公共角，
∠BED=∠BCA=90°，
∴△BED∽△BCA，而AB=3+5x．
∴ = ．
即 = ．
解关于x的方程3+5x= ? ，
两边平方得：（3+5x） ² =13?（x ² +9），
化简得：2x ² +5x-18=0，
即（x-1）（2x+9）=0，
∴x ₁ ="2" x ₂ =- ．
∵x=ED＞0，
∴x=ED=2，AE=5x=10．
∴AB=AE+BE=10+3=13．
∴S _{△ ABD} = ED?AB= ×2×13=13．