如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．（1）求证：△ADP∽△ABE；（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．

Question

如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．

（1）求证：△ADP∽△ABE；
（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠PAD，∵∠ABE=∠ADP，
∴△ADP∽△ABE．

（2） 如图，延长AD、EP交于点M．
∵AD：AB=2：3，且CP=2DP，
∴可以假设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，
∵△ADP∽△ABE，
∴(AD)/(AB)=(DP)/(EB)，
∴(4a)/(6a)=(2a)/(EB)，
∴EB=3a，
∵DM∥EC，
∴(DM)/(EC)=(DP)/(PC)，
∴(DM)/(7a)=(2a)/(4a)，
∴DM=(7)/(2)a，AM=(15)/(2)a，
∵AM∥EB，
∴(AF)/(FB)=(AM)/(EB)=((15)/(2)a)/(3a)=(5)/(2)．