AD为RT△ABC斜边上的高,以AB,AC为边向外作等边△ABE,△ACF,求证:DE⊥DF.

Question

AD为RT△ABC斜边上的高,以AB,AC为边向外作等边△ABE,△ACF,求证:DE⊥DF.

Answer 1

因为,三角形ABC是直角三角形,且AD是斜边的高
所以,三角形ABD相似于三角形CDA
所以,CD/AD=AC/BA,角BCA=BAD
又因为,三角形ABE,ACF为等边三角形
所以AB=AE,AC=FC,角EAB=ACF=60°
所以CD/AD=AC/BA=FC/EA,角EAD=角EAB+角BAD=角ACF+角BCA
又因,角BCA=BAD,所以,角EAD=FCD
所以三角形EAD相似三角形FCD（一对角相等,且这个角的两边对应成比例,所以相似）
所以,角EDA=FDC,
又因为,角ADC=角ADF+FDC=90
所以,角EDF=角EDA+角ADF=角ADC=90,
所以DE⊥DF