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如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AB、BC的中点,连接AF、DE相交于点G,连接CG.(1)求证:AF⊥DE;(2)求证:CG=CD.
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如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AB、BC的中点,连接AF、DE相交于点G,连接CG.
(1)求证:AF⊥DE;
(2)求证:CG=CD.
(1)求证:AF⊥DE;
(2)求证:CG=CD.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD=AD,∠ABF=∠DAE=90°,
又∵E,F分别是边AB.BC的中点
∴AE=
AB.BF=
BC
∴AE=BF.
在△ABF与△DAE中,
,
∴△DAE≌△ABF(SAS).
∴∠ADE=∠BAF,
∵∠BAF+∠DAG=90°,
∴∠ADG+∠DAG=90°,
∴∠DGA=90°,即AF⊥DE.
(2)证明:延长AF交DC延长线于M,
∵F为BC中点,
∴CF=FB
又∵DM∥AB,
∴∠M=∠FAB.
在△ABF与△MCF中,
,
∴△ABF≌△MCF(AAS),
∴AB=CM.
∴AB=CD=CM,
∵△DGM是直角三角形,
∴GC=
DM=DC.
∴AB=BC=CD=AD,∠ABF=∠DAE=90°,
又∵E,F分别是边AB.BC的中点
∴AE=
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∴AE=BF.
在△ABF与△DAE中,
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∴△DAE≌△ABF(SAS).
∴∠ADE=∠BAF,
∵∠BAF+∠DAG=90°,
∴∠ADG+∠DAG=90°,
∴∠DGA=90°,即AF⊥DE.
(2)证明:延长AF交DC延长线于M,
∵F为BC中点,
∴CF=FB
又∵DM∥AB,
∴∠M=∠FAB.
在△ABF与△MCF中,
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∴△ABF≌△MCF(AAS),
∴AB=CM.
∴AB=CD=CM,
∵△DGM是直角三角形,
∴GC=
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