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如图,AB为⊙O的直径,D是弧BC的中点,DE⊥AC交AC的延长线于E,⊙O的切线BF交AD的延长线于F.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若DE=3,⊙O的半径为5.求BF的长.
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如图,AB为⊙O的直径,D是弧BC的中点,DE⊥AC交AC的延长线于E,⊙O的切线BF交AD的延长线于F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5.求BF的长.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5.求BF的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OD,BC,OD与BC相交于点G,
∵D是弧BC的中点,
∴OD垂直平分BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴AC⊥BC,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD为⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)由(1)知:OD⊥BC,AC⊥BC,DE⊥AC,
∴四边形DECG为矩形,
∴CG=DE=3,
∴BC=6.
∵⊙O的半径为5,
∴AB=10,
∴AC=
=8,
由(1)知:DE为⊙O的切线,
∴DE2=EC•EA,即32=(EA-8)EA,
解得:AE=9.
∵D为弧BC的中点,
∴∠EAD=∠FAB,
∵BF切⊙O于B,
∴∠FBA=90°.
又∵DE⊥AC于E,
∴∠E=90°,
∴∠FBA=∠E,
∴△AED∽△ABF,
∴
=
,
∴
=
,
∴BF=
.
∵D是弧BC的中点,
∴OD垂直平分BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴AC⊥BC,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD为⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)由(1)知:OD⊥BC,AC⊥BC,DE⊥AC,
∴四边形DECG为矩形,
∴CG=DE=3,
∴BC=6.
∵⊙O的半径为5,
∴AB=10,
∴AC=
AB2−BC2 |
由(1)知:DE为⊙O的切线,
∴DE2=EC•EA,即32=(EA-8)EA,
解得:AE=9.
∵D为弧BC的中点,
∴∠EAD=∠FAB,
∵BF切⊙O于B,
∴∠FBA=90°.
又∵DE⊥AC于E,
∴∠E=90°,
∴∠FBA=∠E,
∴△AED∽△ABF,
∴
BF |
DE |
AB |
AE |
∴
BF |
3 |
10 |
9 |
∴BF=
10 |
3 |
看了如图,AB为⊙O的直径,D是弧...的网友还看了以下:
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