在直角梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD于F,过点F作EF//AB,交AD于点E,CF=4cm.（1）求证：四边形ABFE为等腰梯形（2）求AE的长

Question

在直角梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD于F,过点F作EF//AB,交AD于点E,CF=4cm.
（1）求证：四边形ABFE为等腰梯形
（2）求AE的长

Answer 1

（1）过点D作DG⊥BA于G,易证四边形CDGB是矩形,CD=BG,而CD=1/2AB,所以 BG=GA=1/2AB,∠DBA=∠DAB,由FE‖BA,得四边形ABFE是等腰梯形.
（2）设AE=x 由四边形ABFE是等腰梯形 得 BF=AE=x 由CD‖BA 得 CF/AF=CD/BA=DF/BF=1/2 AF=8 BD=3/2BF
△ABF是直角三角形,由勾股定理 得 AB=sqrt（x^2+64）
CD=1/2AB=sqrt（x^2+64）/2
△BCF是直角三角形,由勾股定理 得 BC=sqrt(x^2+16)
而BC×CD=CF×BD 得 sqrt（x^2+64）/2×sqrt(x^2+16)=4×3/2x
sqrt（x^2+64）=12x/sqrt(x^2+16)
整理 得 （x^2-32）^2=0 x=4sqrt(2)
即 AE=4sqrt(2)