如图，在正四棱锥P-AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA=5，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P-AMDE的外接球的

Question

如图，在正四棱锥P-AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA=√(5)，B，C分别
为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．

（1）求证：AB∥FG；
（2）求正四棱锥P-AMDE的外接球的表面积．

Answer 1

（1）证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE．
又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE
所以AB∥平面PDE．
因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
所以AB∥FG．
（2） 连接AD，EM，相交于O′，易得AO′=√(2)，PO′=√(3)．
由正四棱锥P-AMDE的对称性，
得正四棱锥P-AMDE得外接球球心在线段PO′上，
不妨设为O点．设OA=OP=R，则OO′=√(3)-R，
∵AO²=AO′²+OO′²，
∴R²=2+（√(3)-R）²，
∴R=(5√(3))/(6)
∴S=4πR²=(25π)/(3)，
∴正四棱锥P-AMDE的外接球的表面积为(25π)/(3)．