如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC和CD边上的点,∠EAB=30°,AE⊥BF于点G,且BE=1.（1）求证：△ABE≌△BCF.（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEC）的面积.（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB'E'

Question

如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC和CD边上的点,∠EAB=30°,AE⊥BF于点G,且BE=1.
（1）求证：△ABE≌△BCF.
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEC）的面积.
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB'E'（如图二）,使点E落在CD边上的点E'处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.

Answer 1

⑴证明：∵正方形ABCD中,∠ABE=∠BCF=900 ,AB=BC,
∴∠ABF+∠CBF=900,
∵AE⊥BF,
∴∠ABF+∠BAE=900,
∴∠BAE=∠CBF,
∴△ABE≌△BCF.
∵正方形面积为3,∴AB=√3,
在△BGE与△ABE中,∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=900
∴△BGE∽△ABE
∴S△BGE/S△ABE=(BE/AE)^2,
又BE=1,∴AE2=AB2+BE2=3+1=4
∴SBGE=S△ABE*(BE/AE)^2= (1/4)* √3/2=√3/8
没有变化 ∵AB=√3,BE=1,∴tan∠BAE=1/√3,∠BAE=30°,
∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE＇=90°,AE′公共,
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,
∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G,
设BF与AE′的交点为H,
则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG公共,
∴△BAG≌△HAG,
∴S四边形GHE'B'=S△AB'E'-S△AGH=S△ABE-S△ABG=S△BEG
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化.