在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，DA⊥平面ABP，E是棱AB的中点，F在棱BC上，且AP=BP=2，AB=2，AD=3，BF=2．（Ⅰ）求证：DF⊥平面EFP；（Ⅱ）求三棱锥E-DFP的体积．

Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，DA⊥平面ABP，E是棱AB的中点，F在棱BC上，且AP=BP=√(2)，AB=2，AD=3，BF=2．

（Ⅰ）求证：DF⊥平面EFP；
（Ⅱ）求三棱锥E-DFP的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为AP=BP，E为AB的中点，所以PE⊥AB．
因为DA⊥平面ABP，PE⊂平面ABP，所以DA⊥PE，
又因为DA∩AB=A，DA⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，又DF⊂平面ABCD，
所以PE⊥DF． 
在Rt△DCF中，DF=√(DC2+CF2)=√(5)；
在Rt△DAE中，DE=√(DA2+AE2)=√(10)；
在Rt△BEF中，EF=√(BE2+BF2)=√(5)．
所以DE²=DF²+EF²，因此DF⊥EF．
又因为PE⊥DF，PE⊂平面EFP，EF⊂平面EFP，EF∩PE=E，
所以DF⊥平面EFP． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PE⊥平面ABCD，故PE为三棱锥P-DEF的高，
在△ABP中，AP=BP=√(2)，AB=2，所以AB²=AP²+BP²，得AP⊥BP，
又E是AB的中点，所以PE=(1)/(2)AB=1． 
由（Ⅰ）得DF⊥EF，故S△DEF=(1)/(2)×DF×EF=(5)/(2)，
所以VE-DFP=VP-DEF=(1)/(3)×(5)/(2)×1=(5)/(6)．