如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H（1）求∠APB度数；（2）求证：△ABP≌△FBP；（3）求证：AH+BD=AB．

Question

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H

（1）求∠APB度数；
（2）求证：△ABP≌△FBP；
（3）求证：AH+BD=AB．

Answer 1

（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=(1)/(2)（∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠APB=180°-45°=135°；
（2）∵∠APB=135°，
∴∠DPB=45°，
∵PF⊥AD，
∴∠BPF=135°，
在△ABP和△FBP中，

∠BPF=∠APB=135°

BP=BP

∠ABP=∠FBP

，
∴△ABP≌△FBP（ASA）；
（3）∵△ABP≌△FBP，
∴∠F=∠BAD，AP=PF，AB=BF，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中，

∠F=∠CAD

AP=PF

∠APH=∠FPD=90°

，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=DF，
∵BF=DF+BD，
∴AB=AH+BD．