已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE；过点A作AE的垂线交DE于点P；若AE=AP=1，PB=5，下列结论中正确的是（）A．△ADP≌△ABPB．DE⊥BEC．∠ABE=∠ABPD．∠APD=120°

Question

已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE；过点A作AE的垂线交DE于点P；若AE=AP=1，PB=√(5)，下列结论中正确的是（　　）

A．△ADP≌△ABP
B．DE⊥BE
C．∠ABE=∠ABP
D．∠APD=120°

Answer 1

∵AP⊥AE，
∴∠EAP=90°，即∠BAE+∠BAP=90°，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△ABE和△ADP中，
∵

AE＝AP

∠BAE＝∠DAP

AB＝AD

，
∴△ABE≌△ADP（SAS），
∴BE=DP，∠APD=∠AEB，∠ABE=∠ADP，
∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=180°-45°=135°，故D选项错误；
∴∠BED=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°，
∴DE⊥BE，故B选项正确；
∵AE=AP=1，PB=√(5)，
∴EP=√(AE2+AP2)=√(12+12)=√(2)，
在Rt△BEP中，BE=√(PB2−EP2)=√(5−2)=√(3)，
∴PB≠BE，
∴PD≠PB，
因此△ADP和△ABP不全等，故A选项错误；
∴∠ADP≠∠ABP，
又∵∠ABE=∠ADP，
∴∠ABE≠∠ABP，故C选项错误．
故选B．