问几道数学题,回答得好的话有追加,最好有几种方法,麻烦各位啦.在△ABC中,ABC=90,AB=BC（1）如图,AD为BC边的中线,若ADB=CDE,求证：AD⊥BE（2）如图,AD为BC边的中线,若AD⊥BE,求证：ADB=CDE如图,

Question

问几道数学题,回答得好的话有追加,最好有几种方法,麻烦各位啦.
在△ABC中, ABC=90 ,AB=BC
（1）如图, AD为BC边的中线,若 ADB= CDE,求证：AD⊥BE
（2）如图, AD为BC边的中线,若AD⊥BE,求证： ADB= CDE
如图,在△ABC中, ABC=90 ,AB=BC
（1）若AB=AP, BAP=30 , 求证：BP=CP
（2）若BP=CP, BAP=30 ,求证：AB=AP
（3）若BP=CP, AB=AP, 求证： BAP=30

Answer 1

第二题 三问相互关联,方法接近.这里只以第一问为例.
最简单的解答 [因格式问题,图片无法插入.但自己绘图很容易]：关于AC做原等腰直角△ABC[∠ABC=90°,AB=BC.故∠BAC=45°,∠BCA=45°.]的对称图形,其中D与B对称.则可得正方形ABCD[由对称,∠DAC=45°,∠DCA=45°.故∠BAD=90°,∠BCD=90°.故为矩形.又有邻边AB、BC相等.得证].
[虽然未必能直接用“对称”方法作为证明的依据,但必须注意,这正是本题证明方法的实质：正方形ABCD是关于对角线和两中位线的对称图形,若记AD中点为Q,则PQ就是一条对称轴,特别地,B与C关于PQ对称,故BP=PC.]
又由AB=AP,可得AD=AP,故有等腰△APD.
又因∠BAP=30°和∠BAD=90°,故∠DAP=60°.进一步得知△APD为正△.
则PD=AD=CD=AB=BC,且∠ADP=60°.
又因正方形ABCD中∠CDA=90°,故∠CDP=30°.故等腰△ABP与等腰△DCP全等,从而BP=PC.
还有一种解法,也是利用“对称”方法,但用法却颇为不同.
[因格式问题,图片无法插入.但可以自己绘图]
记AC的中点为D[则等腰直角△ABC关于BD对称].又记P关于BD的对称点为Q.连接BQ、AQ.
原等腰直角△ABC中∠ABC=90°,AB=BC,故∠BAC=45°,∠BCA=45°.
AB=AP,故有等腰△ABP .其中∠BAP=30°,故∠ABP=∠APB=75°.
而∠ABC=90°,故∠CBP=15°.由对称关系,∠ABQ=15°,则∠PBQ=60°.
又BQ=BP,故有正△BPQ,其中BQ=BP= PQ.
又AB=AP,故△ABQ与△APQ全等.故∠BAQ=∠PAQ=∠BAP/2=15°.
由此,有等腰△ABQ,故AQ=BQ.又由对称关系,即有BP=PC.