为了加快县域经济的发展，某县选择两乡镇作为龙头带动周边乡镇的发展，决定在这两个镇的周边修建环形高速公路，假设一个单位距离为10km，两镇的中心A、B相距8个单位距离，环形高速

Question

为了加快县域经济的发展，某县选择两乡镇作为龙头带动周边乡镇的发展，决定在这两个镇的周边修建环形高速公路，假设一个单位距离为10km，两镇的中心A、B相距8个单位距离，环形高速公路所在的曲线为E，且E上的点到A、B的距离之和为10个单位距离，在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离．
（1） 建立如图的直角坐标系，求曲线E的方程及M、N之间的距离有多少个单位距离；
（2）A、B之间有一条笔直公路Z与AB所在直线成45°，且与曲线E交于P，Q两点，该县招商部门引进外资在四边形PAQB区域开发旅游业，试问最大的开发区域是多少？（平方单位距离）

Answer 1

分析：（1）以AB为x轴，以A中点为原点O建立直角坐标系，设曲线上的点P（x，y），|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，动点轨迹为椭圆，且a=5，由此能够求出曲线E的方程．再由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，能够求出|MN|．（2）将y=x+t代入x225+y29=1，得34y2-18ty+9t2-25×9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），再由根与系数的关系进行求解．（1）以AB为x轴，以A中点为原点O建立直角坐标系，设曲线上的点P（x，y），∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，∴动点轨迹为椭圆，且a=5，c=4，b=3，∴曲线E的方程是x225+y29=1．由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，∴|MN|=8．（2）将y=x+t代入x225+y29=1，得34y2-18ty+9t2-25×9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=9t17，y1y2=9t2-25×934，|y1-y2|=(y1+y2) 2-4y1y2=11750×9×17-9×25t2．S=S△ABP+S△ABQ=12AB•|y1-y2|=83450×9×17-9×25t2．∴当t=0时，面积最大是601734，此是直线为l：y=x．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用