梯形ABCD,AD=11,DC=12,BC=16,AD平行于BC,DC垂直BC,P在AB上运动,过P作PE垂直于AB,交折线BC-CD于点E,连结AE若三角形APE的外接圆的圆心在BD上,求BP的长

Question

梯形ABCD,AD=11,DC=12,BC=16,AD平行于BC,DC垂直BC,P在AB上运动,过P作PE垂直于AB,交折线BC-CD于点E,连结AE
若三角形APE的外接圆的圆心在BD上,求BP的长

Answer 1

过A作AQ⊥BC于Q,则四边形AQCD是矩形,
∴CQ=AD=11,AQ=CD=12,∴BQ=BC-BE=5,
∴AB=√(AQ^2+BQ^2)=13,
①当P在BC上时,
∵AD∥BC,∴ΔOAD∽ΔOEB,
∵ΔAPE的外接圆的圆心O在BD上,
∴OA=OE,∴ΔOAD≌ΔOEB,
∴BE=AD=11,∴SΔABE=1/2BE*AQ=66,
∵PE⊥AB,∴SΔABE=1/2AB*PE=13/2PE,
∴PE=132/13,(用ΔEBP≌ΔABQ亦可求出)
∴PB=√(BE^2-PE^2)=11√143/13；
②当E在CD上时：
设BD交AQ于E,连接 ER,
则OA=OE=1/2DR,
∵OD=1/2AC=OA,∴OD=OR,∴四边形ARED是矩形(对角线互相平分且相等),
∴ER=AD=11,ER：BC,∴ΔDER∽ΔDCB,
∴DE/DC=ER/BC,DE=11×12/16=33/4=AR,CE=12-33/4=15/4,
∴AE=√(AR^2+ER^2)=55/4,BE^2=BC^2+CE^2=4321/16,
设BP=X,则AP=13-X,
由勾股定理得：AE^2-AP^2=BE^2-BP^2,
∴3025/16-(13-X)^2=4321/16-X^2,
X=155/26.
∴BP=11√143/13或155/26.