设O在三角形内部,且向量OA+向量OB+2向量OC=0,则三角形ABC的面积与三角形AOC的面积之比是多少?

Question

设O在三角形内部,且向量OA+向量OB+2向量OC=0,则三角形ABC的面积与三角形AOC的面积之比是多少?

Answer 1

用外积很简单.比如由a,b,c向量组成的三角形s=abs(a×b)/2=abs(b×c)/2=abs(a×c)/2
abs(a)表示取a的模,也就是长度.
则有s(AOC):s(ABC)
=abs(OA×OC)/abs(OA×OC+OC×OB+OB×OA)
=abs(OA×OC)/abs(OA×OC+OC×(-OA-2OC)+(-OA-2OC)×OA)
=abs(OA×OC)/abs(OA×OC+OC×(-OA)+(-2OC)×OA)
=abs(OA×OC)/(4OA×OC)
=1/4