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如图,学校位于高速路AB的一侧(AB成一直线),点A、点B为高速路上距学校直线距离最近的2个隧道出入口,点C、点D为学校的两幢教学楼.经测量,∠ACB=90°,∠ADB>90°,AC=600m,AB=1000m,D到
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如图,学校位于高速路AB的一侧(AB成一直线),点A、点B为高速路上距学校直线距离最近的2个隧道出入口,点C、点D为学校的两幢教学楼.经测量,∠ACB=90°,∠ADB>90°,AC=600m,AB=1000m,D到高速路的最短直线距离DE=400m.
(1)求教学楼C到隧道洞口点B的直线距离.
(2)一辆重载汽车经过该高速路段时的速度为70km/h,该汽车经过时噪音影响的最远范围为距离汽车500m,分别计算说明教学楼C和教学楼D是否会受到该汽车噪音的影响.如果受到影响,受到影响的时间分别是多少?(结果精确到1秒.)
(3)教学楼C和教学楼D分别到隧道口点A、点B直线距离的平方和谁大谁小,试计算比较说明.(即比较图中AC2+BC2与AD2+BD2的大小.)
(1)求教学楼C到隧道洞口点B的直线距离.
(2)一辆重载汽车经过该高速路段时的速度为70km/h,该汽车经过时噪音影响的最远范围为距离汽车500m,分别计算说明教学楼C和教学楼D是否会受到该汽车噪音的影响.如果受到影响,受到影响的时间分别是多少?(结果精确到1秒.)
(3)教学楼C和教学楼D分别到隧道口点A、点B直线距离的平方和谁大谁小,试计算比较说明.(即比较图中AC2+BC2与AD2+BD2的大小.)
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,
在Rt△ABC中,∠C=90°,
据勾股定理,得BC2=AB2-AC2=10002-6002=8002.
∴BC=800(m).
即:教学楼C到隧道洞口点B的直线距离为800m(2)①如图2,作CF⊥AB于F,
由面积法求得CF=480m.
因为CF=480m<500m,DE=400m<500m,
∴教学楼C和教学楼D均会受到该汽车噪音的影响.
②如图3,
设该汽车行至点H时教学楼C开始受到噪音影响,行至点G时受影响结束,则CH=500m,
又∵CF=480m,
根据勾股定理,得FH=140m,GH=2F,
280m=0.28km.
0.28÷70×3600≈14 (s).
即:教学楼C 受到该汽车噪音影响的时间约为14s.
设该汽车行至点Q时教学楼D开始受到噪音影响,行至点P时受影响结束,则DQ=500m,
又DE=400m,据勾股定理,得EQ=300m,PQ=2EQ
600m=0.6km.
0.6÷70×3600≈31(s)
即教学楼D受到该汽车噪音影响的时间约为31s.
(3)AD2+BD22+BC2,说理如下:如图4,
①根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2.
②过点B作BK⊥AD,交AD的延长线于点K.
据勾股定理,得BK2=BD2-DK2,BK2+AK2=AB2.
∴(AD+DK)2+BK2=AB2.
即:AD2+DK2+2AD•DK+BD2-DK2=AB2.
∴AD2+2AD•DK+BD2=AB2.
∵AD>0,DK>0,
∴2AD•DK>0
∴AD2+BD22.
综合①②,得AD2+BD22+BC2.
在Rt△ABC中,∠C=90°,
据勾股定理,得BC2=AB2-AC2=10002-6002=8002.
∴BC=800(m).
即:教学楼C到隧道洞口点B的直线距离为800m(2)①如图2,作CF⊥AB于F,
由面积法求得CF=480m.
因为CF=480m<500m,DE=400m<500m,
∴教学楼C和教学楼D均会受到该汽车噪音的影响.
②如图3,
设该汽车行至点H时教学楼C开始受到噪音影响,行至点G时受影响结束,则CH=500m,
又∵CF=480m,
根据勾股定理,得FH=140m,GH=2F,
280m=0.28km.
0.28÷70×3600≈14 (s).
即:教学楼C 受到该汽车噪音影响的时间约为14s.
设该汽车行至点Q时教学楼D开始受到噪音影响,行至点P时受影响结束,则DQ=500m,
又DE=400m,据勾股定理,得EQ=300m,PQ=2EQ
600m=0.6km.
0.6÷70×3600≈31(s)
即教学楼D受到该汽车噪音影响的时间约为31s.
(3)AD2+BD2
①根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2.
②过点B作BK⊥AD,交AD的延长线于点K.
据勾股定理,得BK2=BD2-DK2,BK2+AK2=AB2.
∴(AD+DK)2+BK2=AB2.
即:AD2+DK2+2AD•DK+BD2-DK2=AB2.
∴AD2+2AD•DK+BD2=AB2.
∵AD>0,DK>0,
∴2AD•DK>0
∴AD2+BD2
综合①②,得AD2+BD2
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