若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则向量AB*(向量PB+向量PD)的取值范围是?

Question

若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则向量AB*(向量PB+向量PD)的取值范围是?

Answer 1

设A(0,0) B(1,0) C(1,1) D(0,1)
P(x,x) x∈[0,1]
=(x,x)
=(1-x,-x)
=(-x,1-x)
(+)=(x,x)(1-2x,1-2x)=2x(1-2x)=-(2x-1/2)^2+1/4
当x=1/4时取得最大值,是1/4
当x=0时,值为0,当x=1时,值为-2,所以最小值为-2
所以取值范围是[-2,1/4]