学长们好.请问1/(lnn)²、1/nlnn、sin[(n²+1)/n]他们各自的收敛性.

Question

学长们好.请问1/(lnn)²、1/nlnn、sin[(n²+1)/n]他们各自的收敛性.

Answer 1

1/(lnn)²发散
1/(lnn)²是正项级数,可使用比较判别法：[n->∞] lim[1/(lnn)²]/(1/n)=limn/ln²n=∞,由于调和级数发散,所以∑1/(lnn)²发散
1/nlnn发散
由于是非负递减序列,使用柯西积分判别法,1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性
∫1/xlnxdx=∫1/lnxd(lnx)=lnlnx[2->∞]=∞-lnln2发散,故原级数发散
sin[(n²+1)/n]发散
这个题目有点奇怪,因为n->∞时,[(n²+1)/n]->∞,sin∞=?