问道数学概率题从平行六面体ABCDA'B'C'D'中任意三个顶点做三角形,从中随机取出两个这两个三角形,不共面的概率是?

Question

问道数学概率题
从平行六面体ABCD_A'B'C'D'中任意三个顶点做三角形,从中随机取出两个这两个三角形,不共面的概率是?

Answer 1

8个顶点中取3个组成三角形,有不同的三角形数C(8,3)=56.
分成3类：
(1).三顶点在同一表面上,此类又分成6小类：
(1.1)三顶点在面ABCD上,(1.2)三顶点在面ABB'A'上,.每小类中有4个三角形.
(2).三顶点在同一对角面上,此类又分成6小类：
(2.1)三顶点在面ABC'D'上,(2.2)三顶点在面AB'C'D上,.每小类中有4个三角形.
(3).三顶点在同一截角面上（如面AB'C）,此类中有8个三角形.
56个三角形中任取2个,有取法C(56,2)=1540种.
取出的两个三角形共面,这两个三角形一定在同一小类中,每一小类中取
2个三角形有取法C(4,2)=6,
取出的两个三角形共面的取法共有6*12=72.不共面的取法共有1540-72=1468.
所求概率=1468/1540=367/385.