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(2004•上海)如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

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(2004•上海)如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1)证明:P-ABC为正四面体;
(2)若PD=DA=
1
2
求二面角D-BC-A的大小;(结果用反三角函数值表示)
(3)设棱台DEF-ABC的体积为V,是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和?若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P-ABC是正四面体
(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.
∵BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.
由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,
∴PM=AM=
3
2
,由D是PA的中点,得
sin∠DMA=
AD
AM
=
3
3
,∴∠DMA=arcsin
3
3

(3)存在满足条件的直平行六面体.
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.
设直平行六面体的棱长均为
1
2
,底面相邻两边夹角为α,
则该六面体棱长和为6,体积为
1
8
sinα=V.
∵正四面体P-ABC的体积是
2
12
,∴0<V<
2
12
,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)
故构造棱长均为
1
2
,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.