如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若QP=QO，则QCQA的值为（）A.23−1B.23C.3+2D.3+2

Question

如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若QP=QO，则(QC)/(QA)的值为（　　）
A. 2√(3)−1
B. 2√(3)
C. √(3)+√(2)
D. √(3)+2

Answer 1

如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r-m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r-m）（r+m）=m•QD，所以QD=(r2−m2)/(m)．
连接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即((r2−m2)/(m))2＝r2+m2，
解得m＝(√(3))/(3)r
所以，(QC)/(QA)＝(r+m)/(r−m)＝(√(3)+1)/(√(3)−1)＝√(3)+2
故选D．